题目内容
5．已知函数f（x）=cos2x+asinx在区间（0，nπ）内恰有8个零点，则实数a的取值范围与最小正整数n的值分别为（ ）| A． | （-1，1），2 | B． | （-1，1），4 | C． | [-1，1]，2 | D． | [-1，1]，4 |
分析 换元法令sinx=t，则g（t）=-2t2+at+1，从而可得-2-a+1＜0且-2+a+1＜0，从而解得-1＜a＜1；再结合正弦函数的性质求解．
解答 解：f（x）=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1，
令sinx=t，则g（t）=-2t2+at+1，
∵g（t）的图象开口向下，且g（0）=1，
∴若使正整数n最小，则g（t）=0的两个解都在（-1，1）上，
则g（-1）＜0且或g（1）＜0，
则-2-a+1＜0且-2+a+1＜0，
故-1＜a＜1；
而当sinx=t，t∈（-1，1）时，方程在一个周期内有两个解；
∵函数f（x）=cos2x+asinx在区间（0，nπ）内恰有8个零点，
∴y=sinx要有两个周期，
∴n的最小值为4，
故选B．
点评 本题考查了换元法的应用及复合函数的应用，同时考查了三角函数与二次函数的性质应用．
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15．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，3cosA-cos（B+C）=1，a=$\sqrt{15}$，B=$\frac{π}{4}$，则b等于（ ）
| A． | $\sqrt{10}$ | B． | 3 | C． | 2$\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{5}$ |
16．在四棱锥P-ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，E为PC的中点．若异面直线PA与BE所成的角为45°，则四棱锥的体积是（ ）
| A． | 4 | B． | 2$\sqrt{3}$ | C． | $\frac{4}{3}$ | D． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ |
13．若sin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，0＜θ＜π，则cosθ=（ ）
| A． | $\frac{-\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$ | C． | $\frac{-\sqrt{3}±2\sqrt{2}}{6}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}±2\sqrt{2}}{6}$ |
20．
如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）
如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）| A． | 20（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）n mile/h | B． | 20（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）n mile/h | C． | 20（$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$）n mile/h | D． | 20（$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$）n mile/h |