题目内容
已知a2+b2+c2=1，若
a+
b+2c≤|x-1|+|x+m|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
| 2 |
| 3 |
| A、[8，+∞） |
| B、（-∞，-4]∪[2，+∞） |
| C、（-∞，-1]∪[8，+∞） |
| D、[2，+∞） |
考点：一般形式的柯西不等式
专题：不等式的解法及应用
分析：由柯西不等式求得|
a+
b+2c|≤3，可得|x-1|+|x+m|≥3对任意实数x恒成立．再根据|x-1|+|x+m|≥|m+1|，可得|m+1|≥3，由此求得m的范围．
| 2 |
| 3 |
解答：
解：由柯西不等式得，(
a+
b+2c)2≤(2+3+4)(a2+b2+c2)=9，
即|
a+
b+2c|≤3，即
a+
b+2c的最大值为3，当且仅当
时等号成立．
所以
a+
b+2c≤|x-1|+|x+m|对任意实数a，b，c，x恒成立等价于|x-1|+|x+m|≥3对任意实数x恒成立．
又因为|x-1|+|x+m|≥|（x-1）-（x+m）|=|m+1|对任意x恒成立，因此有即|m+1|≥3，解得m≥2或m≤-4，
故选：B．
| 2 |
| 3 |
即|
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
|
所以
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| 3 |
又因为|x-1|+|x+m|≥|（x-1）-（x+m）|=|m+1|对任意x恒成立，因此有即|m+1|≥3，解得m≥2或m≤-4，
故选：B．
点评：本题主要考查柯西不等式、基本不等式的应用，绝对值三角不等式，属于基础题．
练习册系列答案
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下列说法错误的是（ ）
| A、命题“若a＞-3，则a＞-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2个 |
| B、对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0；则?p：?x∈R，均有x2+x+1≥0 |
| C、命题“若m＞0，则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题为“若方程x2+x-m=0无实根，则m≤0” |
| D、命题“若xy=0，则x、y中至少有一个为零”的否定是“若xy≠0，则x、y都不为零” |