Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-

1

2

x²+

a

2

x-

3

2

（Ⅰ）求f（x）在x=e处的切线方程；
（Ⅱ）在函数f（x）与g（x）的公共定义域内f（x）的图象始终在g（x）图象的上方，求实数a的范围；
（Ⅲ）是否存在实数s，t（0＜s＜t），使x∈[s，t]时，函数h（x）=

2f(x)+3

x

+x-4图象恒在x轴上方且值域为[2lns，2lnt]？若存在，求出s，t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导f′（x）=lnx+1，f′（e）=lne+1=2，又由f（e）=e；从而写出切线方程；
（Ⅱ）函数f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞）；从而得x∈（0，+∞）时，f（x）-g（x）＞0恒成立；即a＜2lnx+x+

3

x

，从而化为函数的最值问题；
（Ⅲ）h（x）=

2f(x)+3

x

+x-4=2lnx+x+

3

x

-4，可知h（x）的图象在区间[s，t]上恒在x轴上方时1∉[s，t]；从而分类讨论．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1，f′（e）=lne+1=2，
又f（e）=e；
故f（x）在x=e处的切线方程为y-e=2（x-e）；
故切线方程为2x-y-e=0；
（Ⅱ）函数f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞）；
由题意知，x∈（0，+∞）时，f（x）-g（x）＞0恒成立；
即a＜2lnx+x+

3

x

，
令m（x）=2lnx+x+

3

x

，
则m′（x）=

2

x

+1-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

，
故m（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
故m（x）≥m（1）=4；
故a＜4；
（Ⅲ）h（x）=

2f(x)+3

x

+x-4
=2lnx+x+

3

x

-4，
则由（Ⅱ）知，h（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∵h（1）=0＜s，且h（x）的图象在区间[s，t]上恒在x轴上方，
∴1∉[s，t]；
①若0＜s＜t＜1，则lns＜0，lnt＜0，不合题意；
②若1＜s＜t，由题意得，

h(s)=2lns h(t)=2lnt

；
则s，t是方程x+

3

x

-4=0的解，
而方程x+

3

x

-4=0的解为1，3；
故不合题意，
故不存在．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题化为最值问题的处理方法，属于中档题．