Question

己知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF₂是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，则容易求得A点的纵坐标为

b2

a

，根据已知条件便知|F₁F₂|=|AF₁|，所以得到2c=

b2

a

，b²换上a²-c²得到2ac=a²-c²．所以可得到(

c

a

)2+2•

c

a

-1=0，解关于

c

a

的方程即得该椭圆的离心率．

解答： 解：设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），焦点F₁（c，0），F₂（-c，0），如图：
将x=c带入椭圆方程得

c2

a2

+

y2

b2

=1；
解得y=±

b2

a

；
∵|F₁F₂|=|AF₁|；
∴2c=

b2

a

；
∴2ac=a²-c²两边同除以a²并整理得：(

c

a

)2+2•

c

a

-1=0；
解得

c

a

=

2

-1，或-1-

2

（舍去）；
∴这个椭圆的离心率是

2

-1．
故答案为：

2

-1．

点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点及焦距，椭圆离心率的概念，b²=a²-c²，以及数形结合解题的方法，解一元二次方程．