题目内容
已知f（x）=x-aex（a∈R，e为自然对数的底）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值
专题：导数的综合应用
分析：（1）先求导，分类讨论，当a≤0，f'（x）＞0恒成立，当a＞0，再根据导数即可判断函数的单调性，
（2）分离参数，构造函数g(x)=
-ex，利用导数求出函数的最值即可．
（2）分离参数，构造函数g(x)=
| x |
| ex |
解答：
解：（1）f'（x）=1-a•ex，…（2分）
当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）是（-∞，+∞）上的单调递增；…（4分）
当a＞0时，由f'（x）＞0得x＜-lna，
所以函数f（x）在（-∞，-lna）上的单调递增，函数f（x）在（-lna，+∞）上的单调递减；…（6分）
（2）f(x)≤e2x?a≥
-ex，
设g(x)=
-ex，
则g′(x)=
，…（8分）
当x＜0时，1-e2x＞0，g'（x）＞0，g（x）在（-∞，0）上单调递增，…（9分）
当x＞0时，1-e2x＜0，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减，…（10分）
所以g（x）max=g（0）=-1，所以a≥-1；…（12分）
当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）是（-∞，+∞）上的单调递增；…（4分）
当a＞0时，由f'（x）＞0得x＜-lna，
所以函数f（x）在（-∞，-lna）上的单调递增，函数f（x）在（-lna，+∞）上的单调递减；…（6分）
（2）f(x)≤e2x?a≥
| x |
| ex |
设g(x)=
| x |
| ex |
则g′(x)=
| 1-e2x-x |
| ex |
当x＜0时，1-e2x＞0，g'（x）＞0，g（x）在（-∞，0）上单调递增，…（9分）
当x＞0时，1-e2x＜0，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减，…（10分）
所以g（x）max=g（0）=-1，所以a≥-1；…（12分）
点评：本题考查的知识点是利用导数法求函数的单调性，利用导数求函数的最值，函数的恒成立，是函数图象和性质及导数的综合应用，难度中档
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