Question

已知函数f（x）=x³+ax²-x+2
（Ⅰ）如果x=-

1

3

及x=1是函数f（x）的两个极值点，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（I）的条件下，求函数y=f（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程；
（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，3x²+2ax-1=0的两根分别为-

1

3

，1，求出a，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求得点P（-1，1）处的切线斜率k=f'（-1），利用点斜式，可得函数y=f（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程；
（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+2恒成立，分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（I）f'（x）=3x²+2ax-1，3x²+2ax-1=0的两根分别为-

1

3

，1  …（2分）
将x=1或-

1

3

代入方程3x²+2ax-1=0，得a=-1
∴f（x）=x³-x²-x+2…（4分）
（II） 由（I）知：f'（x）=3x²-2x-1，∴f'（-1）=4，
点P（-1，1）处的切线斜率k=f'（-1）=4，
∴函数y=f（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程为：y-1=4（x+1），即4x-y+5=0…（8分）
（III）由题意知，2xlnx≤f'（x）+2在x∈（0，+∞）上恒成立
可得a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

对x∈（0，+∞）上恒成立     …（10分）
设h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，则h′(x)=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

令h'（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍）       …（12分）
当0＜x＜1时，h'（x）＞0，当x＞1时，h'（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，∴a≥-2
∴a的取值范围是[-2，+∞）…（14分）

点评：本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，不等式恒成立常转化为函数最值问题解决．