Question

已知命题P：函数f（x）为（0，+∞）上单调减函数，实数m满足不等式f（m+1）＜f（3-2m）．命题Q：当x∈[0，

π

2

]，函数m=sin²x-2sinx+1+a．
（1）若命题P为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题P是命题Q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,函数单调性的性质

专题：简易逻辑

分析：（1）由于命题P为真命题：函数f（x）为（0，+∞）上单调减函数，实数m满足不等式
f（m+1）＜f（3-2m）．可得m+1＞3-2m＞0，解得实数m的取值范围，记作集合A．
（2）对于命题Q：函数m=sin²x-2sinx+1+a=（sinx-1）²+a．根据x∈[0，

π

2

]，可得m∈[a，1+a]=B．
由于命题P是命题Q的充分不必要条件，可得A?B．

解答： 解：（1）由于命题P为真命题：
∵函数f（x）为（0，+∞）上单调减函数，实数m满足不等式f（m+1）＜f（3-2m）．
∴m+1＞3-2m＞0，解得

2

3

＜m＜

3

2

．
∴实数m的取值范围是(

2

3

，

3

2

)，记作集合A．
（2）对于命题Q：函数m=sin²x-2sinx+1+a=（sinx-1）²+a．
∵x∈[0，

π

2

]，∴m∈[a，1+a]=B．
∵命题P是命题Q的充分不必要条件，
∴A?B．
∴

a≤ 2 3 3 2 ≤1+a

，解得

1

2

≤a≤

2

3

．
实数a的取值范围是

1

2

≤a≤

2

3

．

点评：本题考查了函数的单调性、集合的运算、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．