Question

已知{a_n}是首项a₁=4的等比数列，其前n项和为S_n，且S₃，S₂，S₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂|a_n|（n≥1，n∈N），设T_n为数列{

1

(n+1)(bn-1)

}的前n项和，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当q=1时，S₃=12，S₂=8，S₄=16，不成等差数列，当q≠1时利用等比数列的求出公式建立等式求出q，从而求出数列{a_n}通项公式；
（2）求出b_n，代入

1

bnbn+1

=

1

n+1

-

1

n+2

，然后利用裂项求和法求出前n项和即可．

解答： 解 （ I）当q=1时，S₃=12，S₂=8，S₄=16，不成等差数列，
当q≠1时，∵S₃，S₂，S₄成等差数列，
∴2S₂=S₃+S₄，
∴2

a1(1-q2)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q4)

1-q

，
解得q=-2，
∴a_n=4×（-2）^n-1=（-2）ⁿ⁺¹．
（ II）b_n=log₂|a_n|=n+1，
∴

1

(n+1)(bn-1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及裂项求和法的应用，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．