题目内容
已知△ABC为锐角三角形，并且A=2B，则下列叙述错误的是（ ）
①sin3B=2sinC ②tan
tan
=1 ③
＜B＜
④
∈（
，
]．
①sin3B=2sinC ②tan
| C |
| 2 |
| 3B |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
| A、①② | B、②③ | C、③④ | D、①④ |
考点：两角和与差的正切函数
专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形
分析：△ABC为锐角三角形，并且A=2B，则C=π-A-B=π-3B，由诱导公式，即可判断①，②；由A，B，C均为锐角，即可求得B的范围，即可判断③；运用正弦定理和二倍角公式，以及余弦函数的单调性即可判断④．
解答：
解：△ABC为锐角三角形，并且A=2B，则C=π-A-B=π-3B，
对于①，sinC=sin（π-3B）=sin3B，则①错；
对于②，tan
=tan
=
，则②对；
对于③，由0＜A＜
，0＜B＜
，0＜C＜
，即有0＜2B＜
，0＜π-3B＜
，
即有0＜B＜
，且0＜B＜
，且
＜B＜
，则
＜B＜
，故③对；
对于④，
=
=
=
=2cosB，由于
＜B＜
，则
＜cosB＜
，
即有
∈（
，
），故④错．
故选D．
对于①，sinC=sin（π-3B）=sin3B，则①错；
对于②，tan
| C |
| 2 |
| π-3B |
| 2 |
| 1 | ||
tan
|
对于③，由0＜A＜
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
即有0＜B＜
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
对于④，
| a |
| b |
| sinA |
| sinB |
| sin2B |
| sinB |
| 2sinBcosB |
| sinB |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
即有
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
故选D．
点评：本题考查诱导公式和二倍角公式的运用，余弦函数的性质及运用，正弦定理及运用，考查锐角三角形中角的范围，考查运算能力，属于中档题和易错题．
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