Question

设直角三角形的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有：
①a²+b²＞c²+h²；
②a³+b³＜c³+h³；
③a⁴+b⁴＞c⁴+h⁴；
④a⁵+b⁵＜c⁵+h⁵．
其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：由题意可得ab=ch，可得h=

ab

c

．a²+b²=c²．令

a

c

=cosθ，

b

c

=sinθ，θ∈(0，

π

2

)．利用三角函数的单调性即可得出．

解答： 解：由题意可得ab=ch，可得h=

ab

c

．a²+b²=c²．
令

a

c

=cosθ，

b

c

=sinθ，θ∈(0，

π

2

)．
①左边=a²+b²=c²＜c²+h²=右边，不正确；
②a³+b³＜c³+h³，化为cos³θ+sin³θ＜1+(

h

c

)3．
由cos³θ+sin³θ＜cos²θ+sin²θ=1＜1+(

h

c

)3．
因此正确．
由此可得：③不正确；④正确．
其中正确结论的序号是②④．

点评：本题考查了勾股定理、三角函数的单调性、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．