Question

9．已知函数f（x）=Asin（3x+φ）在$x=\frac{π}{12}$时取得最大值4，其中A＞0，0＜φ＜π．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若$f（α+\frac{π}{12}）=\frac{12}{5}$，求cos（3α+π）的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数的最值确定A，和φ的值即可得到结论．
（2）根据三角函数的诱导公式进行化简求解即可．

解答 解：（1）因为函数f（x）=Asin（3x+φ）在$x=\frac{π}{12}$时取得最大值4且A＞0．
所以A=4，且sin（3×$\frac{π}{12}$+φ）=1，所以$\frac{π}{4}+φ=\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z），
又因为 0＜φ＜π，所以$φ=\frac{π}{4}$，…3分
即$f（x）=4sin（3x+\frac{π}{4}）$．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤3x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，…5分
得$-\frac{π}{4}+\frac{2kπ}{3}≤x≤\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}，k∈Z$．．…7分   
所以函数y=f（x）的单调增区间为$[-\frac{π}{4}+\frac{2kπ}{3}，\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}]，k∈Z$．…8分
（2）因为$f（α+\frac{π}{12}）=4sin[3×（α+\frac{π}{12}）+\frac{π}{4}]=4sin（3α+\frac{π}{2}）=4cos3α=\frac{12}{5}$，，
 所以$cos3α=\frac{3}{5}$．…11分                          
 因此$cos（3α+π）=-cos3α=-\frac{3}{5}$．．…14分

点评 本题主要考查三角函数单调性的应用以及三角函数值的化简和求解，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．