Question

20．为了对某校高二年级学生参加社区服务次数进行估计，随机抽取1个容量为M的样本，根据样本作出了频率分布表如下：

分组	频数	频率
[10，15）	10	0.25
[15，20）	25	n
[20，25）	m	p
[25，30]	2	0.05
合计	M	1

（1）求出表中m、n的值；
（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间[20，25）内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30]内的概率．

Answer 1

分析 （1）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25，频数之和为40，能求出表中m、n的值．
（2）由p=1-0.25-0.625-0.05=0.075，能估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数．
（3）设在区间[20，25）内的两人为{a₁，a₂，a₃}，在区间[25，30）内的3人为{b₁，b₂}．利用列举法能求出至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．

解答 解：（1）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，$\frac{10}{M}=0.25$，
所以M=40…（2分）
因为频数之和为40，
所以10+25+m+2=40，
解得m=3.$n=\frac{25}{40}=0.625$．．（4分）
（2）由（1）得p=1-0.25-0.625-0.05=0.075
因为该校高二学生有240人，分组[20，25）内的频率是0.075，…（6分）
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为18人…（8分）
（3）记“至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内”为事件P，…（9分）
这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3+2=5人，
设在区间[20，25）内的两人为{a₁，a₂，a₃}，在区间[25，30）内的3人为{b₁，b₂}．
则任选2人共有（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，b₁），（a₁，b₂），
（a₂，a₃），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）10种情况，…（11分）
而两人都在[20，25）内共有（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃}，3种，…（12分）
至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率：
p=1-$\frac{3}{10}$=$\frac{7}{10}$．…（13分）
答：至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率为$\frac{7}{10}$．…（14分）

点评 在解决频率分布直方图的问题时，要注意直方图中的纵坐标，直方图中求频率等于纵坐标乘以组距；求事件的概率时，一个先判断事件是什么概型，再选择合适的概率公式