Question

19．已知椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，直线l过点A（1，0），当l的斜率为$\frac{3}{4}$时，求l被椭圆截得的弦长．

Answer 1

分析 直线l的方程为：y=$\frac{3}{4}$（x-1），与椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出．

解答 解：直线l的方程为：y=$\frac{3}{4}$（x-1），与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：97x²-162x-63=0，
∴x₁+x₂=$\frac{162}{97}$，x₁x₂=$\frac{-63}{97}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{9}{16}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{25}{16}[\frac{16{2}^{2}}{9{7}^{2}}+4×\frac{63}{97}]}$=$\frac{15\sqrt{922}}{194}$．

点评 本题考查了直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．