Question

18．已知一次函数f（x）=（3m²-1）x-m²+7m+4．若f（x）是增函数，且f（1）=0．
（1）求m的值；
（2）若f（x²+1）＞x²+120，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用一次函数的单调性以及f（1）=0建立不等式和方程关系进行求解即可．
（2）求出函数的解析式，代入不等式进行求解即可．

解答 解：（1）∵一次函数f（x）=（3m²-1）x-m²+7m+4是增函数，
∴3m²-1＞0，
即m²＞$\frac{1}{3}$，
∵f（1）=0，
∴f（1）=3m²-1-m²+7m+4=2m²+7m+3=0．
即（m+3）（2m+1）=0，
得m=-3，m=-$\frac{1}{2}$，
又∵m²＞$\frac{1}{3}$，
∴m=-$\frac{1}{2}$不成立，故m=-3．
（2）∵m=-3．
∴f（x）=26x-26，
∵f（x²+1）＞x²+120，
∴26（x²+1）-26＞x²+120，
即25x²＞120，
即x²＞$\frac{120}{25}$，
则x＞$\frac{2\sqrt{30}}{5}$或x＜-$\frac{2\sqrt{30}}{5}$．

点评 本题主要考查一次函数单调性的应用以及不等式的求解，根据条件求出m的值是解决本题的关键．