Question

1．已知四边形ABCD中，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=-$\sqrt{3}$，向量$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AD}$和$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$的夹角为30°，则|$\overrightarrow{AC}$|的最大值等于（　　）

Answer 1

分析 由条件利用两个向量的数量积的定义求得＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞和＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞的值，再根据＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞+＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞=180°，故四边形ABCD为圆内接四边形，则|$\overrightarrow{AC}$|的最大值为该圆的直径2R．由余弦定理求得BD，由正弦定理求得2R的值．

解答 解：由题意可得$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$•cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞=-$\sqrt{3}$，∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞=150°．
由向量$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AD}$和$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$的夹角为30°，可得＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞=30°，
∴＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞+＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞=180°，故四边形ABCD为圆内接四边形，则|$\overrightarrow{AC}$|的最大值为该圆的直径2R．
△ABD中，由余弦定理可得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos150°=4+2$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{3}$+1．
△ABD中，由正弦定理可得2R=$\frac{BD}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$+2，
故AC的最大值为2$\sqrt{3}$+2．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，正弦定理和余弦定理的应用，判断四边形ABCD为圆内接四边形，是解题的关键，属于中档题．