Question

3．在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，已知PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC的中点，则异面直线PA与DE所成的角是（　　）

• A． 90°
• B． 60°
• C． 45°
• D． 30°

Answer 1

分析 由条件看出DA，DC，DP三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设DA=1，这样便可求出A，P，D，E的坐标，从而求出向量$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{DE}$的坐标，进而求出cos$＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{DE}＞$的值，从而求出异面直线PA，DE所成的角．

解答 解：如图，根据条件，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，并设DA=1，则：
DC=DP=1；
A（1，0，0），P（0，0，1），D（0，0，0），
C（0，1，0），E（$0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）；
∴$\overrightarrow{PA}=（1，0，-1），\overrightarrow{DE}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$；
∴$|\overrightarrow{PA}|=\sqrt{2}，|\overrightarrow{DE}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{DE}=-\frac{1}{2}$；
∴$cos＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{DE}＞=\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{DE}$的夹角为120°；
∴异面直线PA与DE所成的角是60°．
故选B．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用坐标，利用向量求异面直线所成角的方法，向量坐标的数量积的运算．