Question

8．设F₁，F₂分别是椭圆$E：{x^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜1）$的左、右焦点，已知点F₁的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF₁|=2|BF₁|，AF₂⊥x轴，则椭圆E的方程为（　　）

• A． ${x^2}+\frac{{3{y^2}}}{2}=1$
• B． ${x^2}+\frac{{6{y^2}}}{5}=1$
• C． ${x^2}+\frac{{5{y^2}}}{4}=1$
• D． ${x^2}+\frac{{8{y^2}}}{7}=1$

Answer 1

分析 利用椭圆的性质求出A，B的坐标，代入椭圆方程，结合1=b²+c²，即可求出椭圆的方程．

解答 解：由题意椭圆$E：{x^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜1）$，a=1，F₁（-c，0），F₂（c，0），AF₂⊥x轴，∴|AF₂|=b²，
∴A点坐标为（c，b²），
设B（x，y），则
∵|AF₁|=2|F₁B|，
∴（-c-c，-b²）=2（x+c，y）
∴B（-2c，-$\frac{1}{2}$b²），
代入椭圆方程可得：4c²+$\frac{1}{4}$b²=1，
∵1=b²+c²，
∴b²=$\frac{4}{5}$，
∴x²+$\frac{5}{4}{y}^{2}$=1．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．