Question

已知f（x）=-

1

2

ax²+x-ln（1+x），其中a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在上[0，+∞）的最大值是0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，再分别讨论①当0＜a＜1时，②当a=1时③当a＞1时的情况，从而求出函数的递减区间；
（Ⅱ）讨论①当0＜a＜1时，②当a≥1时的函数的单调性，从而求出a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）（a＞0）的定义域为（-1，+∞），
f′（x）=-

ax(x- 1-a a )

x+1

，
令f′（x）=0 得x₁=0，x₂=

1

a

-1，
①当0＜a＜1时，x₁＜x₂，
f（x）与f′（x）的变化情况如表

x	（-1，0）	0	（0， 1 a -1）	1 a -1	（ 1 a -1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	减	f（0）	增	f（ 1 a -1）	减

所以f（x）的单调递减区间是（-1，0），（

1

a

-1，+∞）；                 
②当a=1时，x₁=x₂=0，f′（x）=-

x2

x+1

≤0，
故f（x）的单调递减区间是（-1，+∞）；                          
③当a＞1时，-1＜x₂＜0，
f（x）与f′（x）的变化情况如下表

x	（-1， 1 a -1）	1 a -1	（ 1 a -1，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	减	f（ 1 a -1）	增	f（0）	减

所以f（x）的单调递增减区间是（-1，

1

a

-1），（0，+∞）．
综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调递增减区间是（-1，0），（

1

a

-1，+∞）；
当a＞1时，f（x）的单调递增减区间是（-1，

1

a

-1），（0，+∞）；
当a=1时，f（x）的单调递增减区间是（-1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
①当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（

1

a

-1），
但f（

1

a

-1）＞f（0）=0，所以0＜a＜1不合题意；                
②当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
f（x）≤f（0），可得f（x）在[0，+∞）上的最大值为f（0）=0，符合题意．
∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，a的取值范围是{a|a≥1}．

点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查分类讨论思想，是一道中档题．