Question

设命题p：方程

x2

4-t

+

y2

t-2

=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题q：曲线y=x²+（2t-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：先求出方程

x2

4-t

+

y2

t-2

=1表示焦点在x轴的椭圆时，t的取值范围：2＜t＜3；曲线y=x²+（2t-3）x+1与x轴交于不同的两点时t的范围：t＜

1

2

，或t＞

5

2

．并且根据“p∨q”为真，“p∧q”为假知道p，q中一个为真，一个为假，所以讨论p，q真假的情况即可求得t的取值范围．

解答： 解：椭圆

x2

4-t

+

y2

t-2

=1焦点在x轴；
∴

4-t＞0 t-2＞0 4-t＞t-2

，解得2＜t＜3；
抛物线y=x²+（2t-3）x+1与x轴交于不同的两点；
∴（2t-3）²-4＞0，解得t＜

1

2

，或t＞

5

2

；
由“p∨q”为真，“p∧q”为假知：p，q中一真一假；
若p真q假，则：

2＜t＜3 1 2 ≤t≤ 5 2

，解得：2＜t≤

5

2

；
若p假q真，则：

t≤2，或t≥3 t＜ 1 2 ，或t＞ 5 2

，解得：t＜

1

2

，或t≥3；
∴实数t的取值范围为{t|t＜

1

2

，或2＜t≤

5

2

，或t≥3}．

点评：考查真命题，假命题的概念，椭圆的标准方程，二次函数图象与x轴有两个交点的充要条件，命题“p∨q”，“p∧q”的真假情况．