Question

已知函数f（x）=x²+lnx．
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=

2

3

x³+

1

2

x²的下方．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=2x+

1

x

．由此利用导数性质能求出函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²-

2

3

x³+ln x，则F′（x）=

(1-x)(2x2+x+1)

x

，由此利用导数性质能证明当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象的下方．

解答： （1）解：∵f（x）=x²+ln x，∴f′（x）=2x+

1

x

．
∵x＞1时，f′（x）＞0，故f（x）在[1，e]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e²．
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²-

2

3

x³+ln x，
则F′（x）=x-2x²+

1

x

=

x2-2x3+1

x

=

x2-x3-x3+1

x

=

(1-x)(2x2+x+1)

x

．
∵x＞1，∴F′（x）＜0，
∴F（x）在（1，+∞）上是减函数．
∴F（x）＜F（1）=

1

2

-

3

2

=-

1

6

＜0，即f（x）＜g（x）．
∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象的下方．

点评：本题考查函数的最值的求法，考查函数f（x）的图象总在g（x）的图象的下方的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．