题目内容

已知函数f（x）=
1
3
x3-4x+4
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，3]上最大值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）求出f′（x）=x2-4，由f′（x）＜0，能求出函数f（x）的单调递减区间．
（2）由f′（x）=x2-4=0，得x=2或x=-2（舍），由此利用导数性质能求出函数f（x）在区间[0，3]上最大值．
解答： 解：（1）∵f（x）=
1
3
x3-4x+4，
∴f′（x）=x2-4，
由f′（x）＜0，得-2＜x＜2，
∴函数f（x）的单调递减区间为（-2，2）．
（2）由f′（x）=x2-4=0，得x=2或x=-2（舍），
∵f（0）=4，f（2）=-
4
3
，f（3）=1，
∴函数f（x）在区间[0，3]上最大值为f（0）=4．
点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查函数的最值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
练习册系列答案
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化简求值：
（1）2 
1
2
+
(-4)0
2
+
1
2
-1
-
(1-
5
)0
；
（2）
1
5
（lg32-log 
1
2
16+6lg
1
2
）-
1
5
lg5．
已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|
（Ⅰ）当a=4时，写出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a=4时，求f（x）在区间（1，
9
2
）上的最值；
（Ⅲ）设a≠0函数f（x）在（p，q）上既有最大值又有最小值，请分别求出p，q的取值范围（用a表示）．
若（m+1）3＜（3-2m）3，试求实数m的取值范围．
在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个不同的数．
（1）求这3个数和为18的概率；
（2）这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时组数的值是2）．求组数的值是1时的概率．
已知函数f（x）=4x3-3x2sinθ+
1
32
，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ＜π．
（1）当θ=0时，判断函数f（x）是否有极值，说明理由；
（2）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围．
已知函数f（x）=x3-3ax（a∈R），
（1）当a=2时，求y=f（x）在点x=1的切线方程；
（2）若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围；
（3）设g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求g（x）的最大值F（a）的解析式．
设命题p：方程
x2
4-t
+
y2
t-2
=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题q：曲线y=x2+（2t-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数t的取值范围．
有以下五个结论：
①f（x）=2-x是指数函数；
②函数y=-
1
x
的单调增区间是（-∞，0）∪（0，+∞）；
③函数y=3|x|的值域为[1，+∞）；
④函数y=
x2
x
和y=
3x3
是同一个函数；
⑤已知f（x）=|2x-1|的图象和直线y=a只有一个公共点，则a的取值范围是a≥1．
其中正确的有
 
．

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