Question

已知二次函数y=f（x）满足f（-2）=f（4）=-16，且f（x）最大值为2．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由条件可得二次函数的图象的对称轴为x=1，可设函数f（x）=a（x-1）²+2，a＜0．根据f（-2）=-16，求得a的值，可得f（x）的解析式．
（2）分当t≥1时和当0＜t＜1时两种情况，分别利用函数f（x）的单调性，求得函数的最大值．

解答： 解：（1）∵已知二次函数y=f（x）满足f（-2）=f（4）=-16，且f（x）最大值为2，
故函数的图象的对称轴为x=1，
可设函数f（x）=a（x-1）²+2，a＜0．
根据f（-2）=9a+2=-16，求得a=-2，
故f（x）=-2（x-1）²+2=-2x²+4x．
（2）当t≥1时，函数f（x）在[t，t+1]上是减函数，
故最大值为f（t）=-2t²+4t，
当0＜t＜1时，函数f（x）在[t，1]上是增函数，在[1，t+1]上是减函数，
故函数的最大值为f（1）=2．
综上，f_max（x）=

2 ，0＜t＜1 -2t2+4t ， t≥1

．

点评：本题主要考查二次函数的性质，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．