Question

已知双曲线上两点A，B的坐标分别为(

9

4

，5)，(3，-4

2

)．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）写出双曲线的焦点坐标，实轴长，虚轴长，离心率．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设双曲线的标准方程为mx²+ny²=1，（mn＜0），把(

9

4

，5)，(3，-4

2

)代入，列方程组分别求出m，n，由此能求出双曲线的标准方程．
（Ⅱ）结合双曲线的标准方程，利用双曲线的简单性质，能求出双曲线的焦点坐标，实轴长，虚轴长，离心率．

解答： 解：（Ⅰ）设双曲线的标准方程为mx²+ny²=1，（mn＜0）
把(

9

4

，5)，(3，-4

2

)代入，得：

81 16 m+25n=1 9m+32n=1

，
解得m=-

1

9

，n=

1

16

，
∴双曲线的标准方程为：

y2

16

-

x2

9

=1．
（Ⅱ）∵双曲线的标准方程为：

y2

16

-

x2

9

=1，
∴a=4，b=3，c=

16+9

=5，
∴双曲线的焦点坐标F₁（0，-5），F₂（0，5），
实轴长2a=8，虚轴长2b=6，离心率e=

c

a

=

5

4

．

点评：本题考查双曲线的标准方程、双曲线的焦点坐标，实轴长，虚轴长，离心率的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质，注意代入法的合理运用．