Question

已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为

1

2

，点M得轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）过原点且倾斜角为135°的直线交曲线C于A、B两点，求弦AB的长．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设M（x，y），利用点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为

1

2

，建立方程，化简可得曲线C的轨迹方程；
（2）求出圆心与半径，圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求弦AB的长．

解答： 解：（1）设M（x，y），则
∵点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为

1

2

，
∴

x2+y2

(x-3)2+y2

=

1

2

，
化简可得（x+1）²+y²=4…（6分）
（2）由（x+1）²+y²=4，可知圆心坐标为（-1，0），半径为2，则
∵直线过原点且倾斜角为135°，
∴直线方程为y=-x，即x+y=0，
∴圆心到直线的距离为

1

2

，
∴弦AB的长为2

4- 1 2

=

14

…（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．