Question

已知函数f（x）=lnx+

1

x

．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+ax在区间[2，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数的正负性，求出函数f（x）的单调区间，从而求出函数的最小值；
（Ⅱ）由函数F（x）在[2，+∞）上是单调函数，求F′（x），对其中的参数a分类讨论，考虑在[2，+∞）上，F′（x）≤0和F′（x）≥0恒成立，求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）定义域为（0，+∞），f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x） 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）在x=1处有极小值，也是最上值f（x）_min=f（1）=1；
（Ⅱ）F（x）=lnx+

1

x

+ax，
∴F′（x）=

1

x

-

1

x2

+a=

ax2+x-1

x2

当a=0时，F′（x）=

x+1

x2

＞0，F（x）在区间[2，+∞）上单调递增，符合题意，
当a＜0时，令g（x）=ax²+x-1，此时，F（x）在[2，+∞）上只能是单调递减，
∴F′（x）≤0，即ax²+x-1≤0，a≤

1-x

x2

=

1

x2

-

1

x

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

，
∵

1

x

∈(0，

1

2

]，∴(

1-x

x2

)min=-

1

4

，得a≤-

1

4

；
当a＞0时，F（x）在[2，+∞）上只能是单调递增，
∴F′（x）≥0，即ax²+x-1≥0，令g（x）=ax²+x-1，此时，g（x）在[2，+∞）上单调递增，
g（x）≥g（2）=4a+1≥0，得a≥-

1

4

，∴a≥0；
综上得：a∈(-∞，-

1

4

]∪[0，+∞)．

点评：本题考查了，利用导数研究函数的单调性，求函数的最值，由函数在给定区间上单调，求参数的范围，还运用了分类讨论思想，是一道导数的综合题．属于中档题．