Question

已知抛物线y²=4x，椭圆

x2

9

+

y2

m

=1，它们有共同的焦点F₂，并且相交于P、Q两点，F₁是椭圆的另一个焦点，
试求：
（1）m的值；
（2）P、Q两点的坐标；
（3）△PF₁F₂的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据已知条件可求出F₂（1，0），所以有9-m=1，m=8；
（2）解方程组

y2=4x x2 9 + y2 8 =1

即得P，Q的坐标；
（3）由P点坐标可知△PF₁F₂的边F₁F₂的高，而|F₁F₂|=2，所以可求得△PF₁F₂的面积．

解答： 解：（1）由题意知，F₂（1，0）；
∴9-m=1；
∴m=8；
（2）解

y2=4x x2 9 + y2 8 =1

得，

x= 3 2 y= 6

，或

x= 3 2 y=- 6

；
∴P(

3

2

，

6

)，Q(

3

2

，-

6

)；
（3）|F₁F₂|=2；
∴S△PF1F2=

1

2

×2×

6

=

6

．

点评：考查抛物线的标准方程及焦点，椭圆的标准方程及焦点，以及两曲线方程形成方程组的解和两曲线交点的关系．