Question

已知当x∈（-1，1）时，不等式3ax²+3ax-1≤0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：要使不等式恒成立，只需函数在（-1，1）上的最大值小于或等于零即可，然后对所涉及的函数进行讨论即可解决问题．

解答： 解：（1）a=0时，3ax²+3ax-1=-1≤0恒成立，故a=0；
（2）若a＞0，记f（x）=3ax²+3ax-1为开口向上的抛物线，其对称轴为x=-

1

2

，当x∈（-1，1）时，f（x）_max=f（1）=3a+3a-1≤0，解得0＜a≤

1

6

；
（3）若a＜0，记f（x）=3ax²+3ax-1为开口向下的抛物线，其对称轴为x=-

1

2

，当x∈（-1，1）时，f(x)max=f(-

1

2

)=

3

4

a-

3

2

a-1≤0，解得-

4

3

≤a＜0．
综上可得所求a的范围是[-

4

3

，

1

6

]．

点评：本题考查了不等式恒成立问题的解题思路，一般的转化为函数的最值问题来解，此题属于函数在指定区间上的最值问题，要注意讨论函数在该区间上的单调性．