Question

△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，

m

=（sinA+sinB-sinC，sinC），

n

=（sinB，sinA+sinC-sinB），且

m

∥

n

，
（1）求A的大小；
（2）若BC边上的高为1，求△ABC面积的最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（1）根据向量平行的坐标公式建立方程关系，利用余弦定理即可求A的大小；
（2）利用三角形的面积公式，分别表示出三角形的面积，得到S²=

1

4

a²=

1

4

（c²+b²-bc），再利用基本不等式求出面积的最小值．

解答： 解：（1）∵

m

=（sinA+sinB-sinC，sinC），

n

=（sinB，sinA+sinC-sinB），且

m

∥

n

，
∴（sinA+sinB-sinC）（sinA+sinC-sinB）=sinCsinB，
∴sin²A-sin²C-sin²B+sinCsinB=0，
根据正弦定理得a²=c²+b²-bc，
由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴A=

π

3

．
（2）设ABC的面积为S，BC边上的高为h，
∴S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc，即bc=

4 3

3

S，S=

1

2

ah=

1

2

a，
∴S²=

1

4

a²=

1

4

（c²+b²-bc）≥

1

4

（2bc-bc）=

1

4

bc=

1

4

×

4 3

3

S=

3

3

S，当且仅当b=c时取等号，
∴S≥

3

3

故△ABC面积的最小值为

3

3

点评：本题主要考查三角函数的化简和求值以及三角形的面积公式，即基本不等式的应用，利用余弦定理求出A的大小是解决本题的关键，属于中档题，