Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则cosB=

 

；若同时边a，b，c成等比数列，则cos2A=

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：由A，B，C成等差数列，利用等差数列的性质求出B的度数，即可确定出cosB的值；由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，将sinB的值代入，利用积化和差公式变形求出2A的度数，即可确定出cos2A的值．

解答： 解：∵A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，
∵A+B+C=π，
∴B=

π

3

，
∴cosB=

1

2

；
∵a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，
利用正弦定理化简得：sin²B=sinAsinC，即sinAsinC=

3

4

，
∴sinAsin（

2π

3

-A）=-

1

2

[cos

2π

3

-cos（2A-

2π

3

）]=

3

4

，
整理得：cos（2A-

2π

3

）=1，
∴2A-

2π

3

=kπ（k∈Z），
∴2A=

2π

3

，
则cos2A=cos

2π

3

=-

1

2

．
故答案为：

1

2

；-

1

2

点评：此题考查了正弦定理，等差、等比数列的性质，数列掌握正弦定理是解本题的关键．