题目内容

已知数集X={x1，x2，…，xn}（其中xi＞0，i=1，2，…，n，n≥3），若对任意的xk∈X（k=1，2，…n），都存在xi，xj∈X（xi≠xj），使得下列三组向量中恰有一组共线：
①向量（xi，xk）与向量（xk，xj）；
②向量（xi，xj）与向量（xj，xk）；
③向量（xk，xi）与向量（xi，xj），则称X具有性质P，例如{1，2，4}具有性质P．
（1）若{1，3，x}具有性质P，则x的取值为
 

（2）若数集{1，3，x1，x2}具有性质P，则x1+x2的最大值与最小值之积为
 
．
考点：平行向量与共线向量
专题：平面向量及应用
分析：（1）由题意可得：（1，3）与（3，x）；（1，x）与（x，3）；（3，1）与（1，x）中恰有一组共线，分别求出相应的x的值即可；
（2）由（1）知，可得x1=
1
3
，
3
，9，再利用新定义验证，得到{1，3，
1
3
，x2}具有性质P时的x2=
1
27
，
1
9
，
3
3
，
3
，9，27，
同理分别得到{1，3，
3
，x2}以及{1，3，9，x2}具有性质P时的x2的值，即可得到x1+x2的最大值与最小值之积．
解答： 解：（1）由题意可得：（1，3）与（3，x）；（1，x）与（x，3）；（3，1）与（1，x）中恰有一组共线，
当（1，3）与（3，x）共线时，可得x=9，此时另外两组不共线，符合题意，
当（1，x）与（x，3）共线时，可得x=
3
，此时另外两组不共线，符合题意，
当（3，1）与（1，x）共线时，可得x=
1
3
，此时另外两组不共线，符合题意，
故x的取值为：
1
3
，
3
，9；
（2）由（1）的求解方法可得x1=
1
3
，
3
，9，
当x1=
1
3
时，由数集{1，3，
1
3
，x2}具有性质P，
①若（1，3）与（3，x2）；（1，x2）与（x2，3）；（3，1）与（1，x2）中恰有一组共线，可得x2=9，
3
；
②若（1，
1
3
）与（
1
3
，x2）；（1，x2）与（x2，
1
3
）；（
1
3
，1）与（1，x2）中恰有一组共线，可得x2=
3
3
，
1
9
；
③若（3，
1
3
）与（
1
3
，x2）；（3，x2）与（x2，
1
3
）；（
1
3
，3）与（3，x2）中恰有一组共线，可得x2=
1
27
，27；
故{1，3，
1
3
，x2}具有性质P可得x2=
1
27
，
1
9
，
3
3
，
3
，9，27；
同理当x1=
3
时，{1，3，
3
，x2}具有性质P可得x2=
1
3
，
3
3
，
43
，
427
，3
3
，9；
同理当x1=9时，可得x2=
1
9
，
1
3
，
3
3
，
3
，3
3
，27，81；
则x1+x2的最大值为90，最小值为
1
3
+
1
27
=
10
27
，
故x1+x2的最大值与最小值之积为90×
10
27
=
100
3
．
故答案为：（1）
1
3
，
3
，9；（2）
100
3
．
点评：本题考查新定义，考查平面向量共线的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．
练习册系列答案
相关题目
若Z=
2-i
1+i
（i为虚数单位），则Z的共轭复数为（　　）
A、
1
2
+
3
2
i
B、-
1
2
+
3
2
i
C、
3
2
+
3
2
i
D、
3
2
-
3
2
i
已知函数f(x)=-
1
3
x3+
1
2
ax2-3x，g（x）=xlnx
（Ⅰ）当a=4时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数g（x）在区间[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）若存在x1，x2∈[
1
e
，e]（x1≠x2），使方程f′（x）=2g（x）成立，求实数a的取值范围（其中e=2.71828…是自然对数的底数）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则cosB=
 
；若同时边a，b，c成等比数列，则cos2A=
 
．
如图，四边形ABCD，ADEF均为正方形，∠CDE=90°，则异面直线BE与CD所成的角的大小为
 
若sin2θ+2cosθ=-2，则cosθ=
 
．
给出下列四个命题：
①设α是平面，m、n是两条直线，如果m?α，n?α，m、n两直线无公共点，那么n∥α；
②设α是一个平面，m、n是两条直线，如果m∥α，n∥α，则m∥n；
③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行；
④三条直线交于一点，则它们最多可以确定3个平面．
其中正确的命题是
 
．
已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A、若m∥α，n∥α，则m∥n
B、若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C、若m∥α，m∥β，则α∥β
D、若m∥α，α⊥β，则m⊥β
已知函数f(x)=
log2x，x＞0
3x，x≤0
，且函数h（x）=f（x）+x-a有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A、[1，+∞）
B、（1，+∞）
C、（-∞，1）
D、（-∞，1]

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网