Question

△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知

m

=（2a-b-c，2a-b-c），

n

=（sinA+sinB，-sinC），若

m

⊥

n

且sinB=2sinC．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）求cos（2B+

π

6

）的值．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积的坐标运算及正弦定理可得a=

3

2

c，再由余弦定理可得cosB=

c2+ 9 4 c2-4c2

2c• 3 2 c

=-

1

4

＜0，从而可判断△ABC为钝角三角形；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cosB=-

1

4

，则sinB=

15

4

，利用二倍角公式可求得cos2B的值，再利用两角和的余弦即可求得cos（2B+

π

6

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）由

m

⊥

n

得：

m

•

n

=0，即（2a-b-c）（sinA+sinB-sinC）=0，…1分
由正弦定理得：（2a-b-c）（a+b-c）=0，…2分
而a+b-c＞0，故2a-b-c=0…3分
又sinB=2sinC得：b=2c，因此a=

3

2

c…4分
由于cosB=

c2+ 9 4 c2-4c2

2c• 3 2 c

=-

1

4

＜0，所以

π

2

＜B＜π，故△ABC为钝角三角形…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cosB=-

1

4

，则sinB=

15

4

…8分
故cos2B=2×（-

1

4

）²-1=-

7

8

，sin2B=2×

15

4

×（-

1

4

）=-

15

8

…10分
因此cos（2B+

π

6

）=（-

7

8

）×

3

2

-（-

15

8

）×

1

2

=

15 -7 2

16

…12分

点评：本题考查三角形形状的判断，考查两角和与差的余弦函数，考查数量积的坐标运算与余弦定理的由于，考查运算求解能力，属于中档题．