Question

如图，F₁，F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，其渐近线方程为y=±kx（k＞0），且该双曲线的离心率e=

2

k．
（1）求该双曲线的离心率；
（2）若a=1，双曲线上的一点B满足以F₁B为直径的圆过点A（

2

2

，-

2

2

）．求证：AB平分∠F₁BF₂．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，由条件可得c²=2b²，再由A，B，C的关系和离心率公式，即可计算得到；
（2）求出双曲线方程，运用直线垂直的条件，解方程求得B的坐标，求出直线AB，F₁B，F₂B的斜率，运用到角公式计算即可得证．

解答： （1）解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为y=±

b

a

x，
由渐近线方程为y=±kx（k＞0），且该双曲线的离心率e=

2

k，
则有k=

b

a

，e=

c

a

=

2

•

b

a

，即有c²=2b²=2（c²-a²），即有c²=2a²，
则有离心率e=

2

；
（2）证明：由a=1，e=

2

，可得，c=

2

，b=1．
则双曲线方程为x²-y²=1，F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），
设B（m，n），则由以F₁B为直径的圆过点A，
即有AB⊥F₁A，则

n+ 2 2

m- 2 2

•

2 2

- 3 2 2

=-1，
即有3m-n=2

2

，又m²-n²=1．
解得，m=

3 2

4

，n=

2

4

．
则B（

3 2

4

，

2

4

），
则有k_AB=

2 4 + 2 2

3 2 4 - 2 2

=3，kF1B=

2 4

3 2 4 + 2

=

1

7

，kF2B=

2 4

3 2 4 - 2

=-1．
则F₁B到AB的角的正切为

3- 1 7

1+ 3 7

=2，AB到F₂B的角的正切为

-1-3

1+(-3)

=2，
则有∠ABF₁=∠ABF₂，即有AB平分∠F₁BF₂．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查直线到直线的角的公式，考查运算能力，属于中档题．