Question

己知函数f（x）=ax²+

1

x

（x≠0），常数a∈R．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断a=1时函数f（x）在（-∞，0）上的单调性；
（3）当a=0时，f（m）＜f（1+2m），求m的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）利函数单调性的定义即可判断a=1时函数f（x）在（-∞，0）上的单调性；
（3）当a=0时，根据分式函数的性质即可解不等式f（m）＜f（1+2m）．

解答： 解：（1）若a=0，则f（x）=ax²+

1

x

=

1

x

，则f（-x）=-f（x），此时为减函数，
若a≠0，则f（1）=a+1，f（-1）=a-1，则f（-1）≠f（1）且f（-1）≠-f（1），
则此时函数f（x）为非奇非偶函数；
（2）若a=1时，函数f（x）=x²+

1

x

，
设x₁＜x₂＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁²+

1

x1

-x₂²-

1

x2

=（x₁-x₂）（x₁+x₂）+

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（x₁+x₂-

1

x1x2

），
∵x₁＜x₂＜0，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-

1

x1x2

＜0，
∴（x₁-x₂）（x₁+x₂-

1

x1x2

）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
则f（x₁）＜f（x₂），
即函数f（x）在（-∞，0）上的单调递增；
（3）当a=0时，则f（x）=

1

x

，
则f（m）＜f（1+2m），
等价为

1

m

＜

1

1+2m

，
则等价为

m＜0 1+2m＞0

或

m＞0 1+2m＞0 m＞1+2m

或

m＜0 1+2m＜0 m＞1+2m

，
即-

1

2

＜m＜0或m＜-1，
即m的取值范围是-

1

2

＜m＜0或m＜-1．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，综合考查函数性质的应用．