Question

已知函数f（x）=ax²+blnx在x=1处有极值

1

2

．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据条件，建立方程关系即可求a，b的值；
（2）求函数的导数，利用函数导数和函数单调性的关系，即可求f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+blnx在x=1处有极值

1

2

，
∴f（1）=a=

1

2

，即a=

1

2

，
函数的导数f′（x）=2ax+

b

x

，
∴f′（1）=2a+b=0，解得b=-1，
即a=

1

2

，b=-1．
（2）∵f（x）=

1

2

x²-lnx；函数的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=x-

1

x

=

x2-1

x

由f′（x）=0，解得x=1，
当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，
即函数的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，根据条件求出a，b，c的值是解决本题的关键，考查学生的运算能力．