Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，过A点的截面AEFG分别交PB，PC，PD于点E，F，G，且PB⊥AE，PD⊥AG．下列结论正确的是

 

（写出所有正确结论的编号）．
①BD∥平面AEFG；
②PC⊥平面AEFG；
③EF∥平面PAD；
④点A，B，C，D，E，F，G在同一球面上；
⑤若PA=AB=1，则四棱锥O-AEFG的体积为

1

9

．

Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：①证明EG∥BD，可得结论；②证明AE⊥PC，AG⊥PC，即可证明PC⊥平面AEFG；③利用反证法可以得出结论；
④由②可知OA=OB=OC=OD=OE=OF=OG=

1

2

AC，故点A，B，C，D，E，F，G在同一球面上；⑤若连接AF，取AF的中点M，连接OM，可求四棱锥O-AEFG的体积．

解答： 解：∵PB⊥AE，PD⊥AG，AB=AD，∴PB=PD，PE=PG，∴EG∥BD，∴BD∥平面AEFG，∴①正确；    
由已知可得BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴AE⊥BC，AG⊥CD，∵PB⊥AE，PD⊥AG，∴AE⊥PC，AG⊥PC，
∴PC⊥平面AEFG，∴②正确；
由②可知EF⊥PC，∴EF与BC必相交，假设EF∥平面PAD，由BC∥平面PAD，可得平面PAD∥平面PBC，显然矛盾，∴③错误；
由②可知OA=OB=OC=OD=OE=OF=OG=

1

2

AC，∴点A，B，C，D，E，F，G在同一球面上，∴④正确；
连接AF，取AF的中点M，连接OM，则OM∥PC，∴OM⊥平面AEFG，由已知可得AE=

2

2

，AF=

6

3

，∴EF=

6

6

，OM=

3

3

，∴四棱锥O-AEFG的体积V=

AE•EF•OM

3

=

1

18

，∴⑤错误．
故答案为：①②④．

点评：本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．