Question

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）的极小值；
（2）若直线x+y+m=0对任意m∈R的都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求导可得f′（x）=3x²-3，解3x²-3=0可得其根，再判断导函数的符号分析函数的单调性，即可得到极小值；
（2）分析对任意的m直线x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线的含义，即可求出函数f（x）=x³-3ax（a∈R）的导函数，使直线与其不相交即可．

解答： 解：（1）令f′（x）=3x²-3=0，得x=±1，
x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（-∞，0）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的极小值为f（1）=-2；
（2）f（x）=x³-3ax（a∈R），则f′（x）=3x²-3a
若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，则直线的斜率为-1，f（x）′=3x²-3a与直线x+y+m=0没有交点，
又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率，
则当x=0时取最大值，-3a＞-1，
则a的取值范围为a＜

1

3

．

点评：本题考查函数的极值问题，考查了函数与方程的综合应用，以及函数导函数的计算，属于综合性问题，计算量小但有一定的难度，属于中等题．