Question

自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A-C-D-B，乙线路是A-E-F-G-H-B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．
表1：

	CD段	EF段	GH段
堵车概率	x	y	1 4
平均堵车时间 （单位：小时）	a	2	1

经调查发现，堵车概率x在（

2

3

，1）上变化，y在（0，

1

2

）上变化．
在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．
表2：

堵车时间（单位：小时）	频数
[0，1]	8
（1，2]	6
（2，3]	38
（3，4]	24
（4，5]	24

（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值；
（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．

Answer 1

考点：几何概型,相互独立事件的概率乘法公式,离散型随机变量的期望与方差

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）利用组中值，可求CD段平均堵车时间a的值；
（Ⅱ）求出走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，可得选择走甲线路应满足（550+4y）-[500（1-x）+（500+60）x]≥0，即6x-4y-5≤0，利用面积之比，求出选择走甲线路的概率．

解答： 解：（Ⅰ）a=0.5×

8

100

+1.5×

6

100

+2.5×

38

100

+3.5×

24

100

+4.5×

24

100

=3；
（Ⅱ）在EF路段多花汽油费的数学期望是20×2y=40y元，在GH路段多花汽油费的数学期望是20×1×

1

4

=5元，
∵EF，GH路段堵车与否相互独立，
∴走乙路线多花汽油费的数学期望是40y+5元，
∴走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，
∴选择走甲线路应满足（550+4y）-[500（1-x）+（500+60）x]≥0，即6x-4y-5≤0，
∵x在（

2

3

，1）上变化，y在（0，

1

2

）上变化，
∴选择走甲线路的概率为

(1- 2 3 )• 1 2 - 1 2 (1- 5 6 )• 1 4

(1- 2 3 )• 1 2

=

7

8

点评：本题考查概率的计算，考查面积的计算，属于中档题．