Question

8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（　　）

• A． 若$\frac{sinA}{a}=\frac{cosB}{b}=\frac{cosC}{c}$，则A=90°
• B． $\frac{a}{sinA}=\frac{b+c}{sinB+sinC}$
• C． 若sinA＞sinB，则A＞B；反之，若A＞B，则sinA＞sinB
• D． 若sin2A=sin2B，则a=b

Answer 1

分析 A、由题设中的条件可以得出B，C两角的正弦与余弦都对应相等，由此关系即可得出正确答案
B、利用正弦定理及等比性质，即可求得结论．
C、在△ABC中，设外接圆的半径为R，运用正弦定理和三角形的边角关系，即可得到结论．
D、利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，推断出A+B=$\frac{π}{2}$或A=B，则根据三角形形状可判断出．

解答 解：A，∵$\frac{sinA}{a}=\frac{cosB}{b}=\frac{cosC}{c}$，
∴由正弦定理sinB=cosB，sinC=cosC，
又∵B，C为△ABC的内角，
∴B=C=45°，
故A=90°，A正确；
B，∵由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R，
∴$\frac{b+c}{sinB+sinC}$=$\frac{2R（sinB+sinC）}{sinB+sinC}$=2R=$\frac{a}{sinA}$，故B正确；
C，在△ABC中，设外接圆的半径为R，
若sinA＞sinB，
则2RsinA＞2RsinB，
由正弦定理可得a＞b，即A＞B；
若A＞B，即有a＞b，
即2RsinA＞2RsinB，
即a＞b．
则在△ABC中，sinA＞sinB?A＞B，故C正确；
D，∵sin2A=sin2B
∴sin2A-sin2B=cos（A+B）sin（A-B）=0
∴cos（A+B）=0或sin（A-B）=0
∴A+B=$\frac{π}{2}$或A=B
∴三角形为直角三角形或等腰三角形．
故D错误．
故选：D．

点评 本题考查三角形中的正弦定理的应用，以及三角形的边角关系，考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题．