Question

19．已知函数f（x）=e^x+ax²+2ax-3在x∈（0，+∞）上有最小值，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{2}$）
• B． （-$\frac{e}{2}$，-$\frac{1}{2}$）
• C． （-1，0）
• D． （$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求出函数的导数，令f′（x）＜0，得：e^x＜-2a（x+1），令g（x）=e^x，h（x）=-2a（x+1），问题h（x）的斜率-2a大于过（-1，0）的g（x）的切线的斜率即可，求出切线的斜率，解关于a的不等式即可．

解答 解：∵f（x）=e^x+ax²+2ax-3，
∴f′（x）=e^x+2ax+2a，
若函数f（x）在x∈（0，+∞）上有最小值，
即f（x）在（0，+∞）先递减再递增，
即f′（x）在（0，+∞）先小于0，再大于0，
令f′（x）＜0，得：e^x＜-2a（x+1），
令g（x）=e^x，h（x）=-2a（x+1），
只需h（x）的斜率-2a大于过（-1，0）的g（x）的切线的斜率即可，
设切点是（x₀，${e}^{{x}_{0}}$），
则切线方程是：y-${e}^{{x}_{0}}$=${e}^{{x}_{0}}$（x-a），
将（-1，0）代入切线方程得：x₀=0，
故切点是（0，1），切线的斜率是1，
只需-2a＞1即可，解得：a＜-$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及曲线的切线方程，考查转化思想，是一道中档题．