Question

16．已知函数f（x）=$\frac{x-1}{ax}$-lnx（a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，求f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值和最小值（参考数据：0.69＜ln2＜0.70）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，求出单调区间即可；
（Ⅱ）代入a值，得出函数的单调区间，根据函数的单调性求闭区间函数的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{x-1}{ax}$-lnx
=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{ax}$-lnx
f'（x）=$\frac{1}{a{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$
=$\frac{1-ax}{a{x}^{2}}$，
当a＞0时，
令f'（x）＞0，
∴$\frac{1}{a}$＞x．
∴在（0，$\frac{1}{a}$）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
在（$\frac{1}{a}$，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减．
当a＜0时，f'（x）＜0，f（x）在定义域内递减；
（Ⅱ）若a=1，函数的递增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），
则f（1）为最大值-In1=0
∴最大值为0
最小值则比较f（$\frac{1}{2}$）与f（2）的大小
f（$\frac{1}{2}$）=-1+ln2＜f（2）=$\frac{1}{2}$-ln2，
∴最小值为-1+ln2，
故最大值为0，最小值为-1+ln2．

点评 本题考查了导函数的应用和利用单调性求闭区间函数的最值，难点是对导函数正负的分类讨论．