Question

3．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF．
（1）求证：平面BAF∥平面CDE；
（2）求证：平面EAC⊥平面EBD；
（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先证明AF∥平面CDE，AB∥平面CDE，即可证明平面BAF∥平面CDE；
（2）证明AC⊥平面EBD平面EAC⊥平面EBD；
（3）BM=$\frac{1}{3}$BD时，AM∥平面BEF，证明AMNF是平行四边形得出AM∥FN，即可证明AM∥平面BEF．

解答 证明：（1）∵AF∥DE，AF?平面CDE，DE?平面CDE，
∴AF∥平面CDE．
同理，AB∥平面CDE，
∵AF∩AB=A，
∴平面BAF∥平面CDE；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD∩DE=D．
∴AC⊥平面EBD，
∵AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面EBD；
解：（3）BM=$\frac{1}{3}$BD时，AM∥平面BEF，理由如下：
作MN∥ED，则MN平行且等于$\frac{1}{3}$BD，
∵AF∥DE，DE=3AF，∴AF平行且等于MN，
∴AMNF是平行四边形，
∴AM∥FN，
∵AM?平面BEF，FN?平面BEF，
∴AM∥平面BEF

点评 本题考查线面平行、平面与平面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确证明线面平行是关键．