Question

15．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为AA₁的中点，E为BC的中点．
（1）求证：直线AE∥平面BDC₁；
（2）若三棱柱 ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，AB=2，AA₁=4，求平面BDC₁与平面ABC所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）设BC₁的中点为F，连接EF，DF．得到EF是△BCC₁中位线，说明EF∥DA，ADFE是平行四边形，推出AE∥DF，即可证明直线AE∥平面BDC₁．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，求出相关点的坐标，求出平面BDC₁的一个法向量，平面ABC的一个法向量．设平面BDC₁和平面ABC所成二面角的大小为θ，通过向量的数量积求解平面BDC₁和平面ABC所成二面角的正弦值即可．

解答 解：（1）证明：设BC₁的中点为F，连接EF，DF．
则EF是△BCC₁中位线，根据已知得EF∥DA，且 EF=DA．
∴四边形ADFE是平行四边形∴AE∥DF，
∵DF?平面BDC₁，AE?平面BDC₁，
∴直线AE∥平面BDC₁．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
由已知得$B（{0，0，0}），D（{0，2，2}），{C_1}（{\sqrt{3}，1，4}）$．∴$\overrightarrow{BD}=（{0，2，2}），\overrightarrow{B{C_1}}=（{\sqrt{3}，1，4}）$．
设平面BDC₁的一个法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，
则$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{BD}，\overrightarrow n⊥\overrightarrow{B{C_1}}$．∴$\left\{\begin{array}{l}2y+2z=0\\ \sqrt{3}x+y+4z=0\end{array}\right.$，
取z=-1，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\\ y=1\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，1，-1}）$是平面BDC₁的一个法向量．
由已知易得$\overrightarrow m=（{0，0，1}）$是平面ABC的一个法向量．
设平面BDC₁和平面ABC所成二面角的大小为θ，
则$|{cosθ}|=|{\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}}|=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．∵0＜θ＜π，∴$sinθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
∴平面BDC₁和平面ABC所成二面角的正弦值为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查向量的二面角的大小，直线与平面平行的判断，考查计算能力以及空间想象能力．