Question

13．求曲线|x|+|y|=1在矩阵M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．

Answer 1

分析 将曲线|x|+|y|=1在矩阵M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$对应的变换作用进行化简，作出表示的曲线所围成的图形即可得到结论．

解答 解：设曲线|x|+|y|=1上（x₀，y₀）在矩阵M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$对应的变换作用下得到的曲线对应点为（x，y），
∴$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$[$\underset{\stackrel{{x}_{0}}{\;}}{{y}_{0}}$]=[$\underset{\stackrel{x}{\;}}{y}$]，即x₀=x，y₀=3y，
代入|x|+|y|=1中得：|x|+|3y|=1，
当x≥0，y≥0时，方程等价于x+3y=1；
当x≥0，y≤0时，方程等价于x-3y=1；
当x≤0，y≥0时，方程等价于-x+3y=1；
当x≤0，y≤0时，方程等价于-x-3y=1，
其图象为菱形ABCD，
则曲线|x|+|y|=1在矩阵M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积为$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$．

点评 此题考查了几种特殊的矩形变换，确定出变换后的曲线方程是解本题的关键．