Question

12．已知直线l过点P（-1，1），且倾斜角为$\frac{5π}{6}$，曲线C的极坐标方程为ρ²+4ρcosθ-2ρsinθ+1=0．
（1）试写出曲线C的直角坐标方程及直线l的参数方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，试求|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入曲线C的极坐标方程可得直角坐标方程；由直线的参数方程的标准形式可得所求方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得t的二次方程，运用韦达定理和参数的几何意义，即可得到所求之积．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，可得
曲线C的极坐标方程ρ²+4ρcosθ-2ρsinθ+1=0，
即为直角坐标方程x²+y²+4x-2y+1=0，
由直线l过点P（-1，1），且倾斜角为$\frac{5π}{6}$，
可得直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcos\frac{5π}{6}}\\{y=1+tsin\frac{5π}{6}}\end{array}\right.$（t为参数），
即为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）；
（2）直线l与曲线C交于A，B两点，
可将直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入曲线C的方程x²+y²+4x-2y+1=0，
可得t²-$\sqrt{3}$t-3=0，即有t₁+t₂=$\sqrt{3}$，t₁t₂=-3，
由参数t的几何意义，可得|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|
=|t₁t₂|=3．

点评 本题主要考查参数方程的运用，注意运用方程联立和韦达定理，考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查运算能力，属于基础题．