Question

13．不等式2x²-2axy+y²≥0对任意x∈[1，2]及任意y∈[1，4]恒成立，则实数a取值范围是（-∞，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 不等式等价变化为2a≤$\frac{2{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$，由x∈[1，2]及y∈[1，4]，求得$\frac{1}{2}$≤$\frac{y}{x}$≤4，运用基本不等式求得$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$的最小值即可．

解答 解：依题意，不等式2x²-2axy+y²≤0等价为2a≤$\frac{2{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$，
设t=$\frac{y}{x}$，
∵x∈[1，2]及y∈[1，4]，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{x}$≤1，即$\frac{1}{2}$≤$\frac{y}{x}$≤4，
∴$\frac{1}{2}$≤t≤4，
则$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$=t+$\frac{2}{t}$，
∵t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{2}{t}}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当t=$\frac{2}{t}$，即t=$\sqrt{2}$∈[$\frac{1}{2}$，4]时取等号．
∴2a≤2$\sqrt{2}$，
即a≤$\sqrt{2}$，
故答案为：（-∞，$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查不等式的应用，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，注意运用基本不等式，属于中档题．