Question

14．（1）用分析法证明：$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$＞$\sqrt{5}$-$\sqrt{7}$；
（2）用反证法证明：$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$不能为同一等差数列中的三项．

Answer 1

分析 （1）利用分析法，寻找使不等式成立的充分条件．
（2）假设$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$为同一等差数列的三项，进而根据等差数列的定义，分析出矛盾，进而得到原结论成立．

解答 证明（1）要证明$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$＞$\sqrt{5}$-$\sqrt{7}$；
只要证$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$，
只要证（$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$）²＞（$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$）²，
只要证13+2$\sqrt{42}$＞13+2$\sqrt{40}$，
只要证$\sqrt{42}$＞$\sqrt{40}$
即证 42＞40．  而 42＞40  显然成立，故原不等式成立
（2）证明：假设$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$为同一等差数列的三项，
则存在整数m，n满足
$\sqrt{3}$=$\sqrt{2}$+md    ①
$\sqrt{5}$=$\sqrt{2}$+nd   ②
①×n-②×m得：$\sqrt{3}$n-$\sqrt{5}$m=$\sqrt{2}$（n-m） 
两边平方得：3n²+5m²-2$\sqrt{15}$mn=2（n-m）²
左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数
所以，假设不正确．
故$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$不能为同一等差数列中的三项

点评 本题主要考查用分析法证明不等式，以及反证法，熟练掌握反证法的适用范围及证明步骤是解答的关键，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止．