Question

19．甲、乙两同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为$\frac{2}{3}$，且各次投篮的结果互不影响，甲同学决定投4次，乙同学决定一旦投中就停止，否则就继续投下去，但投篮总次数不超过4次．
（Ⅰ）求甲同学至少投中3次的概率；
（Ⅱ）求乙同学投篮次数X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设甲同学在四次投篮中，“至少投中3次”的概率为P，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出甲同学至少投中3次的概率．
（Ⅱ）由题意知X可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）设甲同学在四次投篮中，“至少投中3次”的概率为P，
则P=${C}_{4}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{1}{3}）+{C}_{4}^{4}（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{27}$．
（Ⅱ）由题意知X可能取值为1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{2}{3}$，
P（X=2）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，
P（X=3）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{27}$，
P（X=4）=（$\frac{1}{3}$）³=$\frac{1}{27}$，
∴X的概率分布列为：

X	1	2	3	4
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{2}{27}$	$\frac{1}{27}$

E（X）=$1×\frac{2}{3}+2×\frac{2}{9}+3×\frac{2}{27}+4×\frac{1}{27}$=$\frac{40}{27}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式的合理运用．