题目内容

9．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC，D，F分别是棱BC，B1C1的中点，E是棱CC1上的一点．求证：
（1）直线A1F∥平面ADE；
（2）直线A1F⊥直线DE．

分析 （1）连结DF，证明四边形AA1FD为平行四边形，得出A1F∥AD，从而证明A1F∥平面ADE；
（2）证明AD⊥BC，且AD⊥BB1，得出AD⊥平面BB1C1C，从而证明直线AD⊥直线DE．

解答 解：（1）证明：连结DF，
因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，D，F分别是棱BC，B1C1上的中点，
所以DF∥BB1且DF=BB1，AA1∥BB1且AA1=BB1；
所以DF∥AA1且DF=AA1，
所以四边形AA1FD为平行四边形，…（4分）
所以A1F∥AD，
又因为A1F?平面ADF，AD?平面ADF，
所以直线A1F∥平面ADE；      …（6分）
（2）证明：因为AB=AC，D是棱BC的中点，
所以AD⊥BC；…（8分）
又三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
所以BB1⊥平面ABC；
又因为AD?平面ABC，
所以AD⊥BB1；             …（10分）
因为BC，BB1?平面BB1C1C，且BC∩BB1=B，
所以AD⊥平面BB1C1C，…（12分）
又因为DE?平面BB1C1C，
所以直线AD⊥直线DE．     …（14分）

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了推理与证明能力的应用问题，是综合性题目．

练习册系列答案
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从调查结果中随机抽取了10个数据，制成了如图的茎叶图：
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（Ⅱ）从这10个数据中任意取出3个，其中来自B组的数据个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）用抽取的这10个数据作为样本估计全市的居民用电量情况，从全市依次随机抽取20户，若抽到n户用电量为B组的可能性较大，求n的值．
19．已知i是虚数单位，且复数z1=3-bi，z2=1-2i，若$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$是实数，求实数b的值．

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