Question

7．人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db（分贝），并规定测试值在区间（0，5]为非常优秀，测试值在区间（5，10]为优秀，某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：
（Ⅰ）现从听力等级为（0，10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数X，求X的分布列与数学期望．
（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发声情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4，测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号a₁，a₂，a₃，a₄（其中a₁，a₂，a₃，a₄为1，2，3，4的一个排列），若Y为两次排序偏离程度的一种描述，Y=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|，求Y≤2的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意得X的可能值为0，1，2，3，4，
求出对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望值；
（Ⅱ）序号a₁，a₂，a₃，a₄的排列总数为${A}_{4}^{4}$，
计算Y≤2对应的种数为Y=0或Y=2时共4种，求出对应的概率值．

解答 解：（Ⅰ）X的可能值为0，1，2，3，4，
则P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{4}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{15}{210}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{80}{210}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{90}{210}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{•C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{24}{210}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{1}{210}$；
∴X的分布列为

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{15}{210}$	$\frac{80}{210}$	$\frac{90}{210}$	$\frac{24}{210}$	$\frac{1}{210}$

数学期望为EX=0×$\frac{15}{210}$+1×$\frac{80}{210}$+2×$\frac{90}{210}$+3×$\frac{24}{210}$+4×$\frac{1}{210}$=1.6；
（Ⅱ）序号a₁，a₂，a₃，a₄的排列总数为${A}_{4}^{4}$=24种，
∵Y=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|，
当Y=0时，a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4；
当Y=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|=2时，
a₁，a₂，a₃，a₄的可能取值为：
a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=3；
a₁=1，a₂=3，a₃=2，a₄=4；
a₁=2，a₂=1，a₃=3，a₄=4；
∴Y≤2的概率为P（Y≤2）=$\frac{4}{24}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是综合题．