Question

2．如图1．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD，DE⊥AB，沿DE将△AEDD折起到△A₁ED的位置，连结A₁B，A₁C，M，N分别为A₁C，BE的中点．如图2．
（I ）求证：DE丄A₁B
（Ⅱ）求证：MN∥平面A₁ED
（Ⅲ）在棱A₁B上是否存在一点G．使得EG丄平面A₁BC？若存在，求出 $\frac{{A}_{1}G}{GB}$的值：若不存在．说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出DE⊥A₁E，DE⊥BE，从而DE⊥平面A₁BE，由此能证明DE丄A₁B．
（Ⅱ）取CD中点E，连结NE，ME，推导出平面A₁DE∥平面MNE，由此能证明MN∥平面A₁ED．
（Ⅲ）取A₁B的中点G，连结EG，推导出EG⊥A₁B，EG⊥BC，从百求出棱A₁B上存在中点G．使得EG丄平面A₁BC，此时$\frac{{A}_{1}G}{GB}$=1．

解答 证明：（Ⅰ）∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD，DE⊥AB，
沿DE将△AEDD折起到△A₁ED的位置，
∴DE⊥A₁E，DE⊥BE，
∵A₁E∩BE=E，∴DE⊥平面A₁BE，
∵A₁B?平面A₁BE，∴DE丄A₁B．
（Ⅱ）取CD中点E，连结NE，ME，
∵M，N分别为A₁C，BE的中点，
∴ME∥A₁D，NE∥DE，
又DE∩A₁D=D，NE∩ME=E，DE，A₁D?平面A₁DE，NE，ME?平面MNE，
∴平面A₁DE∥平面MNE．
∴MN∥平面A₁ED．
（Ⅲ）取A₁B的中点G，连结EG，
∵A₁E=BE，∴EG⊥A₁B，
由（Ⅰ）知DE⊥平面A₁BE，∵DE∥BC，∴BC⊥平面A₁BE，
∴EG⊥BC，
又A₁B∩BC=B，∴EG⊥平面A₁BC．
故棱A₁B上存在中点G．使得EG丄平面A₁BC，此时$\frac{{A}_{1}G}{GB}$=1．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查满足线面垂直的点的位置的确定与求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．